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Transformación en el plano cartesiano en Geogebra.

Transformación en el plano cartesiano en Geogebra.

En un plano, los polígonos se pueden someter a transformaciones sin cambiar sus características, es decir, sin cambiar la medida de sus lados ni de sus ángulo. Este tipo de transformaciones reciben el nombre de transformaciones rígidas. Las transformaciones rígidas en el plano son: traslación, rotación y reflexión. Hay otra transformación en el plano llamada homotecia que conserva la forma pero no la longitud de los lados de la figura.Para realizar las transformaciones rígidas es necesario estudiar primero la representación de polígonos en el plano cartesiano.

Plano Cartesiano:

El plano cartesiano es un sistema que se utiliza para localizar puntos. Está formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes, Cuyo punto de intersección recibe el nombre de origen.

En el plano cartesiano, un punto se representa con un par de números llamados pareja ordenada que se simboliza (a,b), en donde a se denomina primera componente oabscisa y b se llama segunda componente u ordenada

Para identificar los ejes se nombran como eje x y eje y. En cada eje se establece una escala numérica, de tal forma que en el eje x se escriben los valores positivos hacia la derecha del origen y en el eje y hacia arriba del origen. Además los valores negativos se escriben hacia la izquierda del origen en el eje x, y hacia abajo del origen en el eje y.

REPRESENTACIÓN DE POLÍGONOS EN EL PLANO CARTESIANO

EJEMPLO: Dadas las siguientes coordenadas, ubicarlas en el plano cartesiano y trazar el polígono.

• Lo primero que debemos hacer es trazar nuestro plano cartesiano con sus respectivas escalas tanto hacia los lados positivos (arriba y derecha) como hacia los lados negativos (abajo e izquierda).

• Luego ubicamos la primera coordenada que nos da el ejercicio A = (1,4), recordemos que el primer dígito corresponde ubicarlo en el eje x, y el segundo dígito corresponde ubicarlo en el eje y.

• Luego ubicamos cada una de las coordenadas en el plano cartesiano de la misma manera como lo hicimos en el punto anterior.

• por último se unen los puntos en el mismo orden en que se ubicaron primer A, luego B, luego C y por último D.
  

Simetria axial y central

Simetria axial y central:

SIMETRÍA AXIAL

La simetría axial (también llamada rotacional, radial o cilíndrica) es la simetríaalrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos tomados a partir de cierto eje y conteniéndolo presentan idénticas características.

La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo.

A los puntos que pertenecen a la figura simétrica se les llama puntos homólogos, es decir, A’ es homólogo de A, B’ es homólogo de B, y C’ es homólogo de C. Además, las distancias existentes entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias entre los puntos de la figura simétrica. En este caso: La simetría axial se puede dar también en un objeto con respecto de uno o más ejes de simetría.

Si se doblara la figura sobre el eje de simetría trazado, se podría observar con toda claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son congruentes.

SIMETRÍA CENTRAL:

La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

La herramienta “refleja objeto en punto” es similar a la traslación pero necesitaremos de un punto en vez de una recta. Esta reflexión aplica una trasformación de cada punto del objeto en su simetría respecto de un punto central o lo que es equivalente a una rotación de medio giro del objeto en torno a un punto. Para aplicar la trasformación el programa pedirá que seleccionemos primero el objeto (polígono 1) y luego el punto de reflexión

Traslación: 

Es un movimiento en el que los segmentos unen un punto cualquiera y su transformado, ambos se unen siempre con la misma dirección sentido y longitud.

El segmento, está orientado para realizar el desplazamiento, se denomina vector de traslación.
Vector: segmento de recta dirigido que posee magnitud, dirección y sentido
Simetría de traslación: una figura tiene simetría si se puede hacer que coincida exactamente en la original cuando se traslada una distancia dada en una dirección dada. La simetría de traslación solo existe para patrones infinitos.
Para realizar traslaciones de objetos necesitaremos de un vector que determinará la dirección, sentido y magnitud de la aplicación. La herramienta “traslada objeto por vector”perdirá que seleccionemos el objeto a trasladar (poligono 1) y luego un vector. El nuevo objeto será dependiente del objeto original y del vector.

Homotecia

Homotecia:

La Homotecia es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan homotéticos, y cumplen las siguientes condiciones:

Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).

La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).

Dos figuras homotéticas guardan relación de semejanza.

El centro de la Homotecia es invariante, y las rectas que pasan por el centro de la Homotecia también lo son, aunque no lo son por puntos (los puntos no son dobles).

En una Homotecia pueden darse los siguientes casos:

• Si la constante k es mayor que 0, la Homotecia se denomina directa, y en ella los puntos homotéticos es-tán ambos al mismo lado del centro de la Homotecia.
• Si la constante k es menor que 0, la Homotecia se denomina inversa, y en ella los puntos homotéticos están en lados diferentes con respecto al centro de la Homotecia.
• Si la constante k es 1, la figura homotética coincide con la original, y la transformación se denomina Función Identidad.
• Si la constante k es -1, la Homotecia se convierte en una Simetría Central (ver capítulo 2.4 de este libro).
• Si el valor absoluto de la constante k es mayor que 1, la Homotecia produce un aumento de tamaño (la figura final es mayor que la original).}
• Si el valor absoluto de la constante k es menor que 1, la Homotecia produce una disminución de tamaño (la figura final es menor que la original).

Dos rectas homotéticas siempre son paralelas, y la razón de longitud de dos segmentos homotéticos es igual a la razón de la homotecia (k).

La Homotecia es una transformación plana reversible, esto es, si aplicamos una homotecia a una figura y después aplicamos una segunda homotecia de igual centro y con igual razón pero de diferente signo, obtenemos la figura original.

Una Homotecia de centro impropio (en el infinito) es una Traslación 

Rotación

Rotación.

La herramienta “Rotación” solicitara que seleccionemos en primer lugar el objeto a transformar  (Polígono 1), luego el punto de rotación y finalmente el ángulo (en grados sexagesimales o en radianes) en sentido horario o anti horario.

• La rotación de un cuerpo alrededor de un eje (exterior o interior al cuerpo) corresponde a un movimiento en el que los distintos puntos del cuerpo presentan velocidades que son proporcionales a su distancia al eje. Obviamente, los puntos del cuerpo situados sobre el eje (en el caso de que este sea interior al eje) permanecen en reposo.
  • La orientación del cuerpo en el espacio cambia continuamente durante la traslación.
  • Un ejemplo de rotación el de la Tierra alrededor de su propio eje de rotación, con un periodo de rotación de un día sidéreo.
• La revolución de una partícula o de un cuerpo extenso corresponde a unmovimiento de traslación del cuerpo sobre una trayectoria cerrada, no necesariamente circular.
• En este movimiento, la orientación del cuerpo en el espacio permanece constante.
• Un ejemplo de revolución es el de la Tierra alrededor de del Sol, con un periodo de revolución de un año.

El Trazado de Curvas Técnicas

"El Trazado de Curvas Técnicas"

Primero que todo tenemos que definir que son "Curvas Geométricas";  Se define por curvas Geométricas a una linea que se aparta constantemente de la dirección recta sin formar ángulos y cuya trayectoria es continua, ademas de cumplir una determinada norma. 

                                      División de curvas geométricas:

Dentro de las curvas técnicas existen dos grupos que a su ves se subdividen pero en este caso nos enfrascaremos especialmente en las curvas planas:

Una curva es Plana cuando todos sus están situados en un mismo plano y Albeadas cuando cuatro de sus puntos no se encuentran en el mismo plano.

Las Curvas Planas a su ves se dividen en "Cónicas y Técnicas" : 

curvas técnicas tienen muchas aplicaciones en la resolución de problemas, de dibujos técnicos en el ámbito de diseño industria, arquitectura o gráfico.

Las curvas de este tipo se configuran mediante la unión de circunferencias, que son tangentes entre si dando lugar dando lugar a la formación de figuras planas cerradas.

Trazado de Ovoide

El ovoide es una curva cerrada simétrica con respecto a su eje cóncava hacia el y conformada por cuatro arcos de circunferencia: uno de ellos es una semicircunferencia y otros dos son iguales y simétricos. Su nombre deriva de su parecido con la sección longitudinal de un huevo.

Posee dos ejes ortogonales, denominados mayor y menor. Tiene cuatro centros de curvatura. A diferencia del óvalo, sólo tiene un eje de simetría. 

               Para trazar un ovoide dado el eje menor.

1. Se halla el punto medio O₁ del eje conocido y con centro en él se traza una circunferencia que tenga como diámetro el propio eje.
2. Se determina el punto O₂ en la intersección de la circunferencia con la mediatriz del eje AB.
3. Se trazan las rectas que pasan por los extremos A y B del eje y el punto O₂, antes hallado.
4. Con centro en A y en B se trazan dos arcos de radio igual al diámetro hasta que corten a las prolongaciones de las rectas que pasan por los puntos A y B y O_2.
5. Haciendo centro en O₂ y abriendo hasta las intersecciones de los arcos antes descritos con las prolongaciones de las rectas, trazamos el arco que completa el ovoide.

                                           ovoide dado el eje menor

Trazado de Óvalo

Un óvalo es una curva cerrada compuesta por un número par de arcos de circunferencia enlazados entre sí y simétricos respecto a sus ejes mayor y menor, normales entre sí.

A diferencia de otras curvas, el término óvalo no está claramente definido, y muchas curvas diferentes son llamadas óvalos por tener en común lo siguiente:

• su forma no se aparta mucho de la de una circunferencia o una elipse,
• suelen tener uno o dos ejes de simetría y
• son curvas planas diferenciales (textura suave), simples (no se auto-interceptan), convexas, y cerradas.

Pasos para hacer un óvalo:

Para trazar un óvalo dado el eje Mayor

 1. Primero trazamos una recta siendo el inicio el punto A y el final el punto B el       eje mayor.
2. Se divide en tres partes iguales, quedando las divisiones de la siguiente             manera: el punto de inicio A, los puntos de intersección  M y N y el punto           final B.
3. Con centro en la intersección M y con radio en a A se describen la primera         circunferencia.
4. Con centro en la intersección N y con radio en a B se describen la segunda         circunferencia.
5. Debemos de trazar una diagonal que este entre el centro de M y N hasta los       puntos de encuentro donde se interceptan las circunferencias siendo estos los     puntos O y P.
6.Trazamos una diagonal desde O pasando por M y N individualmente para            obtener los puntos H y G.
7.Trazamos una diagonal desde P pasando por M y N individualmente para            obtener los puntos E y F.
8.Con centro en P y radio en E se describe el arco E F.
9. Con centro en O y radio en G se describe el arco G H

Óvalo dado el eje Mayor

Para trazar un Óvalo dado el eje menor.

1.Primero trazamos una recta siendo el inicio el punto A y el final el punto B el      eje mayor.                                                                                                  1.2.Y una 2.diagonal que pase por el centro de AB siendo el punto medio O y así    se describe el eje menor CD.
3. En el punto medio O de este eje y con radio igual a la mitad del mismo se           describe una circunferencia.
4.Los puntos donde la circunferencia corta al eje mayor serán M y N.
5.Trazamos una diagonal desde C pasando por M y se obtiene el Punto H.
6.Trazamos una diagonal desde C pasando por N y se obtiene el Punto G.
7.Trazamos una diagonal desde D pasando por M y se obtiene el Punto E.
8.Trazamos una diagonal desde D pasando por N y se obtiene el Punto F.
9.Con centro en C y radio en D se describe un arco de circunferencia GDH.
10.Con centro en D y radio en C se describe un arco de circunferencia ECF.
11.Con centro en M y radio E se describe el arco EAH y con centro en N y radio       en F se describe el arco FBG, con lo que se obtiene el ovalo buscado.

Óvalo dado el eje menor